Un étudiant toujours intéressé par la cryptographie

Un étudiant motivé par les maths m'écrit:
(...) « Je suis en L1 Math-Info et je vais postuler en CPGE MPSI l'an prochain. J'ai quand même envie d'aller en CPGE enfin de compte pour tenter les ENS (Cahan, Lyon ou Paris) par la « Grande Porte » et sinon des écoles d'ingénieurs (Télécom,Supelec, ENSTA...)
Je suis toujours intéressé par la cryptographie, seulement je suis tombé sur ça :
http://www.slate.fr/story/109569/probleme-million-dollars
« L’un des effets négatifs qu’aurait la démonstration de P = NP est la totale remise en question de toute forme de sécurité sur internet car cela rendrait déchiffrables toutes les clés de cryptographie. Du côté des effets positifs, tout deviendrait moins cher, car les transports de marchandises d’un point à un autre s’en trouveraient révolutionnés. »
Est-ce que si on parvient à démontrer que P = NP, que toute la cryptographie sera obsolète ?
Ou est-ce qu'il est possible de chiffrer nos communications, transactions par carte bancaire... autrement ? Merci de votre éclaircissement. (...) »

Voici ma réponse :

(...) Vous avez un projet et êtes motivé, donc bonne chance dans sa réalisation :)

Pour répondre votre question, disons que toute invention d’un théorème ou d’une méthode plus efficace remet en question des systèmes basés sur la difficulté d’une approche. Pour la carte bancaire qui utilise entre autre le système RSA, toute la sécurité des transactions repose sur la difficulté d’obtenir la décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers comparée à la facilité avec laquelle on peut générer de très grands nombres premiers. Comme la clé secrète du système RSA dépend de la conservation de deux nombres premiers p et q secrets, sachant que le produit n=pq est public (c’est-à-dire connu de tout le monde), on comprend que toute avancée dans les algorithmes de factorisation demande d’augmenter la taille de n pour que cette factorisation ne soit pas possible en un temps raisonnable (s’il faut un millions d’années pour y arriver, ce n’est pas grave pour une transaction).

Mais il y aura normalement toujours des inventions de techniques de chiffrement pour s’adapter aux nouvelles découvertes en déchiffrement. C’est un peu comme l’histoire de l’arme offensive et du bouclier...

Je vous envoie ci-joint un extrait de mon livre sur les codes secrets où l’on décrit le chiffrement RSA à l’aide de simples congruences, comme celles qu’on étudie en terminale. 

Bonne continuation dans vos projets, (...)

Voici l'extrait qui décrit sobrement le système RSA dans Mathématiques et codes secrets :







Suite de notre correspondance (ce 23/01/16) :

MESSAGE : Merci pour ces éclaircissements. Je vais acheter votre livre, je crois il à l'air très bien ! Je vais aussi commander Brèves de Mathématiques et Les raisonnements mathématiques. Sinon en l'arithmétique actuellement j'aime beaucoup le chapitre sur les corps et les anneaux, notamment le Groupe Z/nZ.  Des maths intéressantes ;) Bonne continuation à vous aussi ! (...)

REPONSE : Si vous aimez Z/nZ et les structures algébriques, à la place de Brèves de Mathématiques prenez plutôt Fondamentaux d’algèbre et d’arithmétique même si c’est d’un niveau plus élevé que la première année de licence. Cela vous fera prendre de l’avance et vous êtes très motivé, donc foncez. Par contre vous pouvez lire Les raisonnements mathématiques qui ont un franc succès parce qu’ils font le tour de tout ce qui fait que notre science est bien la plus belle :) Je sais, j’exagère, mais c’est ainsi...  (...)





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