CORPS FINIS : un outil pour travailler l'algèbre discrète pour l'agrégation !

Ce petit livre publié le 6 janvier 2016 contient toutes les bases à savoir sur les corps finis, exposées progressivement avec moult détails, avec en prime la correction d'un long et superbe problème d'agrégation interne posé en 2015.

Joie : ce petit livre est progressif et bien expliqué pour que la joie de découvrir ou de revisiter ce thème algébrique soit à son maximum !

Public visé : candidats à l'agrégation interne autant qu'à l'agrégation externe.

Petit tour d'horizon...



LE RACOON

La photo de couverture a été prise en juin 2015 au parc zoologique de Guadeloupe. Elle met en scène un joli racoon : un petit raton laveur qui est l'animal totem de la Guadeloupe ! Maintenant, ce racoon est une STAR ! Tous ceux qui liront ces lignes sauront maintenant que le parc zoologique de la route de la traversée, au sein du grand parc national de la Guadeloupe, est absolument remarquable, avec des animaux sympathiques que l'on découvre en se promenant dans la forêt luxuriante tropicale, des plantes et des fleurs un peu partout, et un trajet à effectuer près de la cime des arbres sur des passerelles en bois ! Cela permet 3 heures de visite dans un cadre exceptionnel !


INTRODUCTION A « CORPS FINIS »

Ce livre permet de s'initier au calcul algébrique dans les corps finis pour se préparer à l'agrégation interne et accumuler facilement des connaissances dans cette partie importante des mathématiques. 

En prérequis, il est demandé de posséder quelques connaissances sur les structures algébriques et l'algèbre générale vues en licence, des savoirs qui seront réinvestis avec profit tout au long de cet ouvrage.  

Les corps finis jouent un rôle fondamental en cryptographie et en théorie du codage de l'information, et ce livre peut aussi être considéré comme un prérequis pour bien comprendre certains passages des volumes 9 et 10 de la collection des DOSSIERS.  

Le premier chapitre présente toutes les connaissances dont on a besoin pour comprendre la construction des corps finis : les éléments algébriques ou transcendants, le procédé fondamental d'adjonction symbolique d'une racine, l'existence du corps des racines d'un polynôme puis celle de la clôture algébrique d'un corps commutatif.  

Le second chapitre est une digression agréable permettant de découvrir ou se remémorer trois applications remarquables de la notion d'extension algébrique. Le lecteur pressé pourra passer directement au chapitre 3 qui est central et contient l'étonnant théorème d'existence et d'unicité d'un corps fini.  

Les chapitres 4, 5 et 6, indépendants entre eux, peuvent être lus dans l'ordre que l'on désire.  

Pour terminer cette incursion dans l'algèbre corporelle finie, on pourra s'entraîner sur le très joli problème d'agrégation interne 2015 proposé dans sa totalité au chapitre 7. On pourra aborder ce problème avec tout le recul et les connaissances nécessaires pour en tirer profit et découvrir une construction explicite d'une extension de Fp incluse dans l'ensemble des matrices carrées de taille 2 à coefficients dans Fp.  

Les notions sont abordées progressivement, avec beaucoup d'explications pour rendre la visite agréable, et de nombreux compléments sont proposés en annexe afin de profiter de chaque occasion pour asseoir ses connaissances.  

Encore un voyage mathématique passionnant dans le domaine de l'algèbre discrète. Que ce soit un plaisir subtil !  


ADAPTE AUSSI POUR L'AGREGATION EXTERNE ?

Bien sûr, puisque toutes les notions abordées sont au programme de l'agrégation externe. Ce livre s'intéressent aux bases des mathématiques, aux fondamentaux qu'il vaut mieux posséder avant d'aller au feu des écrits et des oraux...

Par contre, ce livre ne doit pas être travaillé par les prépas CAPES : il y a bien d'autres thèmes à bosser et à approfondir pour le CAPES en s'en tenant strictement au programme officiel.

Voici ma réponse à un Mégamathien qui me demandait si le livre convient pour préparer l'agrégation externe :



LA COLLECTION « DOSSIERS MATHEMATIQUES »

La collection DOSSIERS MATHEMATIQUES propose des développements courts et ciblés sur des thèmes qui intéressent les étudiants de licence, les candidats aux concours de recrutement de l'éducation nationale, mais aussi tous ceux qui possèdent une certaine culture mathématique et désirent approfondir un sujet particulier dans des délais restreints.

Pour plus de renseignements sur cette collection à laquelle je travaille, connectez vous sur cette page de MégaMaths Classic !



DES QUESTIONS ? N'HESITEZ PAS !

Vous pouvez me contacter quand vous le désirez au sujet de ce livre, de la collection DOSSIERS MATHEMATIQUES ou pour tout ce qui a trait au site MégaMaths en envoyant un mél à l'adresse dany-jack.mercier@hotmail.fr

Vous pouvez aussi répondre en bas de cet article : réponse assurée tant que je suis sur Terre et tant que j'ai un ordinateur connecté sur internet !


Avanti !   :))))))))))))))))))))))))) 


Commentaires

  1. le sujet agreg int 2015 est-il accompagne de sa correction ?

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    Réponses
    1. Oui bien sûr. Pour la postérité, et parce que cela allait très bien dans un livre sur les corps finis, j'ai inclus l'énoncé de la composition 1 de l'agrégation interne 2015 et la solution complète. Sans solution détaillée, cela n'aurait pas été vraiment intéressant :)

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