Démontrer n'est plus un objectif dans l'enseignement des mathématiques ?

Mise en bouche :
"(...) à observer même rapidement l’évolution des manuels de mathématiques du lycée, il apparaît que les  propositions  mathématiques  qu’on  y  trouve  sont  de  moins  en moins accompagnées de leur démonstration, et que celles d’entre elles qui subsistent sont souvent lacunaires. Il semble bien qu’on ait là un phénomène d’obsolescence (...)"

Voici un bon article de réflexion sur le thème de la désaffection de la démonstration dans l'enseignement des mathématiques, une désaffection qui touche toutes les classes du collège au lycée, et qui constitue un vrai phénomène dans l'enseignement de notre discipline.

Mais où les élèves et futurs scientifiques français pourront-ils comprendre la nécessité de démontrer et jouer à prouver des résultats en utilisant le raisonnement déductifs, si ce n'est en mathématiques où ces raisonnements tiennent la place centrale ?

La création d'une filière scientifique ouverte à tout le monde, et la destruction affirmée des enseignements scientifiques dans cette filière, par exemple visible dans l'appréciation du contenu des programmes des classes du lycée en section S, qui devient ainsi une pseudo filière scientifique, aura forcément un impact sur la formation et les conceptions de nos futurs étudiants scientifiques. Et c'est bien cela qui m'inquiète.

L'article mis en lien évoque le problème de la désaffection de l'apprentissage de la démonstration dans les classes de mathématiques. On y apprendra que le raisonnement par récurrence n'a été enseigné qu'à partir de 1966, mais utilisé qu'en arithmétique jusqu'en 1992. On se rappellera aussi que l'arithmétique a complètement disparu du programme de la filière scientifique du lycée entre 1981 et 1998, un vrai scandale quand on pense que cette période correspond à l'essor de l'utilisation du numérique dans pratiquement tous les domaines de la technologie...

L'article aborde ensuite deux types de limite de la rigueur hilbertienne, et évoque les programmes de démonstration automatique par ordinateurs, sur lesquels on ne peut pas s'assurer qu'il n'y a pas de bogue... Quand aux démonstrations probabilistes : 

"La  modélisation  et  la  simulation  prennent  une  place  grandissante,  liée  au  considérable développement  des  ordinateurs,  en  modifiant  considérablement  les  démonstrations.  Par ailleurs, vu les cas d’impossibilité pratique de s’assurer d’une certitude absolue, mais devant la  nécessité  de continuer  à  avancer  quand  même,  sont  apparues  les  « démonstrations probabilistes ».
Une démonstration classique dit qu’une propriété démontrée est vraie à 100%, sinon elle est fausse. Un démonstration probabiliste calcule la probabilité qu’une proposition soit vraie.  Si cette probabilité est 100 % alors elle est démontrée. Mais parfois elle peut n’être vraie qu’à 99,99999999999999999999 %. Elle n’est  donc pas vraie au sens strict, mais on accepte tout de même cette « démonstration » comme satisfaisante. Cela peut avoir un grand intérêt pratique,  en particulier pour des problèmes de cryptage (pour trouver des codes qui soient en pratique impossibles à « casser »)."

La conclusion de l'article se veut rassurante. Chacun y réagira comme il l'entend...

Voici le lien vers l'article Démontrer en mathématiques : une pratique frappée d'obsolescence ? de Drouhard & Lozi de l'université de Nice.




Commentaires

  1. J'ai parcouru l'article, je suis assez choqué, avec le prétexte que certains théorèmes "difficiles" ne sont peut être pas démontrés à 100% (ce qui est possible), on veut réformer l'apprentissage classique de la démonstration, je vois même pas le lien logique entre les deux. Démontrer que les médianes sont concourantes reste intéressant au niveau démarche cognitive. Cela n'a rien avoir avec les démonstrations des théorèmes comme le théorème de Fermat. Je pense à un article sur commande qui puisse justifier l'injustifiable. Mais je ne suis qu'un petit prof de lycée donc bon... On peut aussi ne plus faire de maths... On pourrait faire des animations de maths ça serait plus ludique ! Les profs deviendraient des animateurs. Quant aux élèves...

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    1. Je suis un d'accord avec vous. La première partie de l'article rappelle de bonnes choses, mais la conclusion se veut optimiste, ce qui paraît forcé.
      Votre exemple concernant le point d'intersection des médianes d'un triangle est pertinent : c'est ainsi qu'on apprend à raisonner juste, et cela n'a pas de prix.
      Quant à admettre des théorèmes trop difficiles à démontrer, c'est toujours possible bien entendu. Admettre un théorème n'est pas dangereux en soi, mais demande seulement qu'on fasse confiance à la personne qui le demande, pour continuer à avancer "sérieusement" et rigoureusement.

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