Les mathématiques modernes sont-elles fondées sur la géométrie ?

On me pose cette question sur l'importance de la géométrie dans les mathématiques modernes :

QUESTION de Gwendal Idot - Je crois me souvenir d'une idée qui viendrait de vous, selon laquelle les mathématiques (modernes) seraient fondées sur la géométrie. Est-ce bien là votre opinion ? Je voudrais creuser l'idée. Elle me semble paradoxale, et cependant il y a quelque chose de vrai et certainement d'important, que je n'arrive pas à analyser.

Par exemple sur les dix volumes du traité de Bourbaki une place très réduite semble réservée à la géométrie comparée à l'algèbre. D'autre part, en mathématiques appliquées (programme de licence 3) la place de la géométrie n'est pas vraiment mise en valeur comparée aux probabilités, à la programmation, à la cryptologie... Au final, la géométrie semble partout presque limitée à l'analyse.

Et, les problèmes de construction ne semblent plus jouer un rôle fondamental comme cela a, peut-être, été le cas avant le XIXe siècle, je pense, notamment, aux problèmes traditionnels de duplication du cube, trisection d'un angle, quadrature du cercle.

Pourriez-vous m'aider à approfondir cette idée d'un fondement des mathématiques modernes en géométrie, si vous pensez qu'elle contient du vrai ?


REPONSE :

Je ne pense pas que cette idée vienne de moi. Je ne pense pas non plus que les mathématiques modernes soient issues de la géométrie, mais plutôt d’un effort sans précédent de la construction d’une matière unique, la mathématique, grâce à la logique et l’axiomatique, même s'il est certain que les différentes géométries aient fait prendre conscience de la nécessité d'adopter un point de vue beaucoup plus universel, ce qui a aboutit à l'axiomatique.

La découverte de l'axiomatique au début du XXe siècle a été une étape décisive dans la construction de la mathématique.

Les mathématiques modernes se sont développées à partir de la théorie des ensembles et de la mise à jour de concepts très généraux bien cachés dans nos façons de définir les objets avec lesquels on travail, ou de faire comme si on les avait définis.

L'effort sans précédent de conceptualisation en mathématiques est par exemple visible dans la notion d’entiers relatifs qui ne prend réellement forme que quand on dispose de la notion d’ensemble quotient suivant une relation d’équivalence.

Et les classes d’équivalence sont partout pour qui se donne la peine de les chercher : constructions des nombres (Z, Q, R, C, Z/nZ, corps finis et extensions de corps...), longueurs, surfaces, angles, courbes géométriques, variétés (topologiques, différentielles...) et beaucoup d'autres concepts fondamentaux.

Bref : si je devais dire ce qui est le plus important pour la construction des mathématiques, je parlerai d'abord de la logique, des ensembles, puis des notions de classes d'équivalence et d'ensemble-quotient.

Commentaires

  1. Merci pour cette réponse ! Il faut que je creuse mon idée encore. Cependant, elle a un sens également. Je pense à la préface de Cauchy à l'un de ses Cours d'Analyse, où il relativise l'importance de l'algèbre. Cauchy préfère la rigueure de la géométrie aux généralités creuses de l'algèbre de son temps. Mon idée est que l'algèbre moderne que l'on connait aujourd'hui, grâce au traité de Bourbaki en partculier, s'est développée en introduisant dans ses méthodes, des méthodes qui voulaient surtout imiter la rigueure de la géométrie. Maintenant, on peut dire qu' il y a une rédaction importante qui relie entre elles les définitions, les théorèmes, les démonstrations, comme dans les Eléments d'Euclide pour faire la comparaison avec la géométrie classique, alors qu'avant, lorsqu'on lit les auteurs (Euler, Newton, Leibniz...), on a l'impression que l'agèbre est un amas d'idées de génies nées à l'occasion de problèmes concrèts.

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    1. C'est une idée intéressante. Bon courage dans votre travail :)

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    2. Je reformule pour ne pas oublier des détails. Il s'agit d'une étude sur la place de la géométrie dans le traité de Bourbaki. Apparemment, elle est "rejetée" des mathématiques modernes, ou bien limitée à l'analyse (au profit de l'algèbre notamment). Les problèmes de constructions géométriques ne jouent plus le rôle central qu'ils ont eu dans l'histoire des mathématiques, jusqu'au début du 19ème siècle. Mon idée est qu'en fait l'algèbre moderne que l'on connaît aujourd'hui, grâce au traité de Bourbaki notamment, a pris modèle sur la géométrie classique pour devenir ce qu'il est comme langage hypothético-déductif (un enchainement de définitions, théorèmes, propositions). Alors qu'avant le 19ème siècle par exemple l'algèbre était plutôt un amas d'idées géniales, mais dispersées, qui n'avaient pas l'unité que l'on connait déjà dans la géométrie classique depuis Euclide, Apollonius. Ainsi commence le traité de Bourbaki : "Aux époques où la notion de démonstration a menacé de s'en perdre et où de ce fait la mathématique s'est trouvée en danger, c'est chez les Grecs qu'on en a cherché les modèles" (Bourbaki, Théorie des Ensembles). - Dommage alors, a-t-on envie de dire, qu’il soit impossible de trouver les Éléments d'Euclide ou les Coniques d'Apollonius traduits en français. Cela n'est accessible qu'en anglais. Quant à l’enseignement du grec dans les programmes des collèges, il n’a plus guère beaucoup de jours devant lui, semble-t-il.

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    3. Non, ce que je voulais dire, simplement, ce n'est pas que la géométrie classique disparaît (c'est vrai bien sûr que la résolution des grands problèmes classiques de construction au 19ème marque un peu la fin des découvertes en géométrie classique), en fait elle se transforme plutôt.
      Dans le sens où en topologie, par exemple, on rencontre encore des figures géométriques, ex: des parallélotopes, des boules, des cônes, des cubes.
      Cependant elles ne sont plus étudiées pour "elles-mêmes", ils apparaissent à l'occasion d'études plus générales (exemple dans "la topologie des espaces vectoriels ordonnés" on va s'intéresser à certaines propriétés du cône convexe).
      En revanche, lorsqu'en mathématiques appliquées on s'intéresse à la modélisation en particulier, alors les figures géométriques redeviennent des objets d'étude à part entière (part le biais de l'analyse).

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