Les annales du CAPES 2015 sortent cette semaine : 4 compositions pour cerner les nouvelles épreuves !

Castillo San Cristóbal à San Juan (Puerto Rico)
 photo prise par l'auteur en 2014

La correction des quatre dernières compositions du CAPES seront normalement disponibles cette semaine. C'est fait : des journées de travail ont été nécessaires pour arriver à ce produit fini, copier les énoncés, chercher et taper les solutions, se relire et se relire encore. Le produit est fini !

Les projets avancent quand on investit du temps sur eux tranquillement, chaque jour, suivant ses possibilités, et c'est vrai pour tout. Pour préparer un concours, c'est aussi une affaire d'entraînement quotidien, pour apprendre le kendo ou l'aïkibudo, il faut pratiquer régulièrement, pour récolter des fruits dans son jardin, c'est encore la même chose... 

2015 est une année faste pour les écrits de CAPES : aux compositions du CAPES externe sont venues se greffer celles du CAPES agricole qui était ouvert cette année, et donnaient plus de chances d'être recrutés aux candidats qui ont pu s'inscrire et se déplacer. Voici quatre énoncés différents mis à la disposition des futurs candidats à l'enseignement en 2016.

***

En avant-première, je vous propose ci-dessous la première et la quatrième de couverture de cet ouvrage, et l'introduction complète : 




      INTRODUCTION

Ce livre contient les deux compositions du CAPES externe de mathématiques 2015, suivies des deux compositions du CAPES agricole de la même année, ainsi que la correction détaillée de ces épreuves, avec des remarques et des annexes. 

Les annales d'un concours constituent toujours la méthode la plus simple et la plus efficace pour s'entraîner sur ce qui est réellement attendu d'un candidat. Agrémentées de compléments, elles font gagner du temps et servent de prétexte pour débuter des révisions de cours dès que cela devient indispensable. 

Les quatre épreuves suivantes ont été construites dans le nouveau style du concours : la première composition doit attester du niveau mathématique du candidat, tandis que la seconde est à visée plus professionnelle. 

Mais ne nous leurrons pas : cette seconde épreuve demande autant de qualités mathématiques que la première, et sera réussie par le matheux même s'il ne connaît pas ce que l'on enseigne dans le secondaire. Les maths se suffisent à elles-mêmes, heureusement ! 

La seconde épreuve se fait remarquer par une plus grande retenue sur le niveau des questions posées et un lien plus étroit avec les programmes du lycée sur lesquels on demande parfois de réfléchir en adoptant une approche universitaire. 

Un exemple éclairant est donné par les questions de la partie A du second problème de la composition 2 du CAPES externe, où l'on demande de démontrer des propriétés des coefficients binomiaux en utilisant uniquement la définition glauque donnée en terminale pour rendre la calculatrice indispensable (cela s'appelle : une révolution numérique mal comprise), pour ensuite proposer de redémontrer ces mêmes propriétés en utilisant la définition universitaire beaucoup plus simple (et réservée maintenant au « supérieur »), donnant accès à l'expression explicite d'un coefficient binomial utilisant des factorielles. De quelque façon que ce soit, on constate qu'il s'agit bien de mathématiques. 

Une bonne nouvelle : il n'a jamais été aussi facile d'être admissible au CAPES. Le programme a été substantiellement allégé : plus de coniques, peu de formes bilinéaires symétriques, peu de transformations, de l'algèbre limitée à l'extrême, de l'analyse de base, une géométrie affine réduite à ce qu'on peut en faire au collège où les programmes doivent encore s'étioler en 2016, ou encore à ce que l'on peut en dire en CPGE en se plaçant seulement dans le cadre étroit des espaces Rⁿ considérés suivant le moment comme vectoriels ou affines, ce qui ne manquera pas de désarçonner de nombreux élèves de ces classes et des préparationnaires du CAPES. Quant à l'oral du concours, il suit la tendance générale dans l'éducation ces dernières décennies : moins de concepts et plus de TICE... 

A l'écrit, le niveau de connaissance s'est largement assoupli ces dernières années, et les contenus ont suivi : les questions deviennent très fractionnées et l'on n'hésite plus à demander de déterminer les coordonnées d'un point M connaissant celles d'un point B et d'un vecteur BM, ou de calculer une équation cartésienne d'une droite passant par deux points donnés dans le plan (voir questions C.1 et C.2 du problème 1 du CAPESA 2015, seconde comp.), des questions fort sympathiques du niveau seconde du lycée. 

Mais alors, où se trouve la difficulté ? 

Elle existe toujours, car l'époque a changé ! Un étudiant de licence mathématique est maintenant bien moins préparé dans sa discipline qu'il y a quelques années. Ce défaut de préparation est dû à l'absence de filière scientifique véritable au lycée, autant qu'à l'esprit des différentes réformes qui s'abattent sur le système éducatif avec une régularité inouïe, où les programmes et les horaires de mathématiques sont systématiquement revus à la baisse depuis plus de trente ans. A cela on ajoutera qu'à l'impossible nul n'est tenu. 

Peut-on rappeler qu'il n'est plus désormais exceptionnel de voir un élève de terminale S se tromper en résolvant une équation du premier degré dans R, et que résoudre un système de deux équations à deux inconnues est une véritable mission impossible pour certains ? Les racines carrées disparaissent de l'enseignement du collège 2016 : seront-elles bientôt à enseigner en classes préparatoires ? Sait-on qu'il est maintenant possible de décrocher son BAC S avec 3 sur 20 en maths, simplement en ayant de bonnes notes aux options et dans les enseignements non scientifiques ? 

Que penser de la part congrue laissée aux maths en première S, 4 heures par semaine, et à la majorité des élèves de terminale S qui ne bénéficient que de 6 heures d'enseignement disciplinaire par semaine, à comparer aux 6 heures en première et 9 heures en terminale il n'y a pas si longtemps ?

Quant aux trois années universitaires menant à la licence de mathématiques, elles sont amputées d'un premier semestre de détermination en L1 (L1 = première année de licence), d'un mois de stage « dans n'importe quel magasin de chaussures » en L3, ont subi la mode de la semestrialisation et des deux sessions avant la fin de l'année universitaire (la disparition de la session de rattrapage de septembre, qui permettaient aux étudiants collés de véritablement se mettre au travail pendant l'été pour se préparer sérieusement, serait due à une demande des étudiants eux-mêmes qui auraient eu besoin des deux mois d'été pour travailler au Mac Do : voilà encore un argument à haute valeur pédagogique s'il en est), ce qui a eu pour résultat d'imposer des semestres d'enseignements qui durent à peine une dizaine de semaines. 

Faut-il encore rappeler le danger de la segmentation du savoir en d'innombrables EC (éléments constitutifs) de 12 à 24 heures chacun, qui éparpillent encore plus la connaissance en lui enlevant toute unité. L'idéal est au zapping et à la concertation réussie fantasmée

Pour achever le tout, l'importance de la langue vivante et de la méthodologie, réaffirmée chaque année à chaque niveau de formation, continue à vider celle-ci de nombreux contenus scientifiques. 

L'étudiant lambda arrive en troisième année de licence moins préparé, moins entraîné, avec des lacunes qui ne l'empêcheront certainement pas de décrocher son diplôme. Il n'est pourtant pas responsable de ce niveau, mais plutôt la victime d'un curriculum scolaire inadapté aux sciences. Cela affecte aussi les meilleurs étudiants qui, souvent maintenant, ne doivent leur valeur qu'aux efforts qu'ils ont personnellement consentis dans un contexte difficile. 

Ce n'est pas en rajoutant quelques heures de mathématiques en M1 MEEF (M1 = master première année ; MEEF (métiers de l'enseignement, de l'éducation et de la formation) : dénomination des masters préparant à l'enseignement et donc aussi au CAPES) que tout va miraculeusement s'arranger. En MEEF, l'étudiant court plusieurs lièvres à la fois : l'examen, les stages et le concours. Il ne sait plus où donner de la tête, n'a plus le temps d'apprendre ou réviser. Pour le concours, il s'aidera des quelques heures disciplinaires qu'on arrive encore à lui proposer, mais sur des périodes concentrées sur seulement deux dizaines de semaines. La dure réalité de la mastérisation est là, et c'est l'étudiant qui doit l'assumer : chaque semestre dure 10 semaines une fois que l'on a enlevé les stages et les périodes d'examens de première et seconde session, sans parler du temps passé en enseignements généralistes sur l'éducation ou dans l'appropriation de techniques de recherche en éducation qui n'ont rien à voir avec la discipline mathématique. Le candidat au CAPES, même inscrit en M1 MEEF, devra arriver à combler seul beaucoup de lacunes dans son coin, quitte à recommencer sa préparation sur plusieurs années si nécessaire. 

La difficulté est donc bien réelle : avec moins de préparation, les questions sur les fondamentaux posées dans les épreuves écrites ou orales peuvent faire mal ! Chacun doit retravailler les bases, et les écrits 2015 montrent bien ce recentrage sur des questions de cours. 

La difficulté sera d'approfondir ses connaissances sans se satisfaire d'à-peu-près, et d'apprendre à retrouver un raisonnement pour le rédiger sans faire d'erreur grave, ou l'exposer à l'oral sans se fourvoyer. 

Dans le cadre de mes enseignements de master, je me rends compte qu'il existe de plus en plus de difficultés pour penser un raisonnement, l'expliquer à l'oral ou le rédiger à l'écrit. Un poncif, comme la preuve de l'existence d'un unique cercle passant par les trois sommets d'un triangle, pose de plus en plus souvent un problème insurmontable à un licencié de mathématiques, même si la démonstration a été décortiquée quelques mois avant. Je ne considère pas ces étudiants comme fautifs : on s'est déchargé sur eux en leur laissant le soin de travailler seul, en minimisant à chaque instant dans le secondaire ce type d'apprentissage purement mathématique pour privilégier de simples approches vulgarisatrices et imposer des thèmes d'études en interdisciplinarité. Il est temps de récolter ce qu'on a semé. 

Un exemple ? L'étude des rudiments de logique mathématique ne font plus partie du programme de la classe de seconde scientifique alors qu'ils étaient enseignés il y a 40 ans, et d'une aide appréciable pour qui voulait apprendre à raisonner correctement. 

Que connaîtront nos futurs étudiants ? Dans la réforme du collège 2016, le danger principal vient de la dilution des apprentissages basiques en mathématiques dans les EPI (EPI = Enseignement pratique interdisciplinaire, prévus pour être imposés au collège à partir de 2016), des activités pluridisciplinaires qui, dans la pratique et sur le terrain, se limiteront à du bricolage car il sera impossible de faire autrement, tout en réduisant d'autant les heures indispensables de français et de mathématiques. On articule des réformes en pensant à des classes idéales menées par des enseignants fantasmés. 

Au collège, le danger viendra aussi de la disparition promise d'une bonne partie du programme de géométrie. L'étude minimaliste de la géométrie telle qu'elle s'effectuait en collège jusque-là, permettait de découvrir comment raisonner juste : localiser une hypothèse ou une conclusion, imaginer une démarche logique permettant d'aller de l'une à l'autre, proposer des contre-exemples, vérifier une situation sur un écran ou sur du papier pour ensuite faire fonctionner ses neurones pour l'expliquer, et même la démontrer. Peu de disciplines permettent une telle initiation de qualité à ce niveau, et pour beaucoup d'élèves, la géométrie sera l'unique endroit où ils expérimenteront ce que représente un raisonnement logique. Il ne faut pas oublier que :

Le raisonnement logique utilisé en mathématiques est une victoire de l'esprit humain !

En allégeant le programme de géométrie du collège, on disqualifie un apprentissage unique en son genre, et on pénalise nos futurs scientifiques : ces élèves qui continueront leurs études en sciences sans avoir été au contact avec cette initiation géométrique porteuse de sens. 

Terminons par un exemple qui montre une des difficultés actuelles dans les épreuves écrites du CAPES : celle de devoir restituer complètement un raisonnement déjà vu en cours. Quel matheux n'a pas rencontré cette propriété caractéristique fondamentale des nombres premiers :

(P)  « Si p est un nombre premier, et si p divise un produit ab, alors p divise a ou b »

A l'écrit ou à l'oral, demander de démontrer cette affirmation permet de savoir si le candidat connaît ses définitions et raisonne correctement. 

J'ai posé récemment cette question dans un test destiné à mes étudiants de M1 MEEF. Cette question avait été décortiquée et travaillée six mois plus tôt. Les deux photos ci-dessous montrent deux réponses qui prouvent que l'objectif n'a pas été atteint pour tous. La question que l'on pourrait poser ensuite est la suivante : démontrer que la propriété (P) caractérise bien les nombres premiers. Là aussi, il faudrait être capable d'y répondre... 

Le challenge continue ! Bonne progression à tous les futurs candidats au CAPES, et bon travail sur ces quatre problèmes d'entraînement !

Dany-Jack Mercier 
Pointe-à-Pitre, le 25 mai 2015



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