Bientôt la sortie des annales de l'agrégation interne 2015 !

Elles sont dans les starting-blocks : les corrections des deux longs problèmes d'agrégation interne tombés les 29 et 30 janvier 2015 seront proposées dans moins d'une semaine sur le site d'Amazon.

Beaucoup de difficultés dans ces deux problèmes, et dans ces annales je m'exprimerai franchement en disant que certaines questions sont infaisables car mériteraient (au moins) d'être découpées en 5 ou 6 sous-questions. Elles sont là pour la galerie, ce qui ne pose d'ailleurs pas de problème puisqu'il s'agit d'un concours et que les candidats sont étalonnés les uns par rapport aux autres...

D'autres passages seront très intéressants, et j'ai essayé de les détailler avec coeur. Le travail touche à sa fin : le livre est proposé aujourd'hui à la publication, et ensuite il vivra sa vie !

En avant-première, voici l'introduction du livre : 

AGRÉGATION INTERNE 2015
Deux compositions de mathématiques

qui sera très bientôt disponible :


INTRODUCTION

✓ Ce volume d'annales contient les énoncés des deux compositions de l'agrégation interne de mathématiques 2015, leurs corrections détaillées avec soin et quelques rappels et compléments, dont un formulaire sur les intégrales impropres et une étude des polynômes cyclotomiques pour prolonger le travail dans les corps finis.

✓ Ces annales ont été enrichies de remarques pour offrir un bon outil de travail sur ces deux compositions.

✓ La première composition permet de travailler sur un très joli problème sur des espaces de matrices à coefficients dans des corps finis. L'énoncé, progressif et suffisamment détaillé, permet au candidat d'entrer aisément dans le sujet s'il est un tant soit peu préparé sur ces thèmes algébriques. 

   - La première partie permet d'établir deux résultats qui seront utilisés dans la suite. Le premier est une caractérisation des carrés parfaits d'un corps fini, obtenue en utilisant des morphismes de groupes. Le second permet de caractériser les matrices d'ordre 4 à coefficients dans un corps de caractéristique différente de 2 simplement en s'intéressant à leurs traces. Cette première partie ne devrait pas poser de problème particulier au candidat entraîné sur ces sujets, et constitue une excellente entrée en matière. 

    - La seconde partie étudie un sous-anneau commutatif de l'anneau des matrices carrées de taille 2 à coefficients dans un corps k, suivant la nature de ce corps. Cette étude se précise dans la partie III où ce sous-anneau est parfois un corps, ce qui sera utilisée plus loin pour disposer d'un sur-corps K d'un corps fini F_{p}, où p est un nombre premier, possédant une bonne propriété : tout polynôme de degré 2 à coefficients dans F_{p} possédera toutes ses racines dans K. 

   - La quatrième partie s'intéresse à des nombres de Mersenne et exploite des résultats démontrés précédemment pour énoncer un critère original de primalité. Enfin la cinquième et dernière partie demande de déterminer le nombre de classes de similitudes des matrices 2×2 à coefficients dans le corps fini F_{p} quand p est un nombre premier différent de 2. Mis à part les dernières questions plutôt techniques, l'ensemble du problème constitue un entraînement de choix aux futures épreuves.


✓ La seconde épreuve, difficile, porte sur la fonction Gamma, les produits infinis de fonctions, et les suites de variables aléatoires. L'objectif du problème est de démontrer quelques propriétés de la fonction Gamma. 

   - Si certaines questions du début peuvent être traitées moyennant certaines connaissances à mettre en oeuvre, notamment concernant la convergence des intégrales impropres et les résultats sur la dérivabilité des fonctions définies à l'aide d'intégrales, le problème se corse vite et la progression devient pénible dans les deux dernières parties III et IV. Pratiquement toutes les questions de ces deux dernières parties sont infaisables car proposées sans aucune aide ni questions intermédiaires. 

   - Devant la difficulté des questions proposées, je conseille au lecteur de ne pas rester longtemps à chercher des solutions, pour plutôt passer rapidement à la lecture de celles-ci et découvrir les outils et les notions utilisées. On peut noter au passage que certaines questions intermédiaires restaient à portée, comme les questions 11.a, 11.b, 11.c ou 17.a, toute la difficulté se résumant alors à les repérer dans l'énoncé et les aborder sans découragement. Ces questions accessibles moyennant un peu de préparation ont toutes été recopiées dans les prochains volumes de la collection Acquisition des fondamentaux pour les concours, dont le but est justement de mettre en valeur ce qui peut raisonnablement être traité dans un problème de concours en laissant de côté les questions infaisables.

✓ L'un des objectifs des annales corrigées est de se préparer aux prochaines épreuves et réinvestir ses connaissances. C'est dans cette optique que l'on trouvera un bonus constitué d'un développement de cours sur les polynômes cyclotomiques définis sur un corps de caractéristique 0 ou un corps fini. 

   - Ce bonus permettra de continuer le périple dans ces espaces étonnants, avec une arrière-pensée : celle de réviser certaines parties du programme, mais aussi celle de terminer par une démonstration du théorème de Wedderburn suivant lequel tout corps fini est commutatif. 

   - Ce théorème était important dans la première épreuve 2015 où il permettait au candidat de travailler dans un corps fini en sachant qu'il était commutatif, sans perdre de temps à se demander si c'était le cas. On notera en passant que certaines questions de la première épreuve ne précisaient pas que l'on travaillait dans un corps commutatif, ce qui ne pouvait pas en fait être autrement, mais a dû déstabiliser des candidats (voir les remarques placées à la fin des réponses aux questions 3.a et 4). 

   - Ce bonus sera aussi l'occasion de réviser la formule d'inversion de Moebius, la notion de polynôme primitif, et le critère d'Eisenstein. De belles révisions en perspective.

✓ Il ne reste plus qu'à profiter de ces problèmes pour affûter nos armes pour les prochaines épreuves... en s'amusant et en y prenant plaisir autant qu'il est possible ! Avanti !


      Dany-Jack Mercier                           
Pointe-à-Pitre, le 24 avril 2015           


Voici la couverture créée avec une photo que j'ai prise en 2006 sur la Basse-Terre, en Guadeloupe. C'est l'intérieur d'une maison antillaise traditionnelle, et j'ai associé des couleurs chaudes à ces couleurs de bois. Calme et sérénité : un siège confortable nous attend, où nous pourrons réfléchir en lisant un bon livre, et derrière un escalier monte vers un premier étage mystérieux. Une couverture apaisante et des couleurs sereines. Une bonne entrée en matière pour tous ceux qui se lanceront dans la résolution de ces deux problèmes...

Qu'en pensez-vous ?
   




Agrégation interne 2015 - Deux compositions de mathématiques
Authored by Dany-Jack Mercier
List Price: $13.50
6.69" x 9.61" (16.993 x 24.409 cm) 
Black & White on White paper
140 pages
ISBN-13: 978-1511624879
ISBN-10: 1511624876
BISAC: Mathematics / Study & Teaching





Le 5 mai 2015, le service de communication de l'université des Antilles
publie cette annonce. Merci à Frédéric Abidos !



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