CAFEP Maths : un oral exceptionnel sur les solides de l'espace


Voici le compte rendu d'un oral 1 du CAFEP 2017 où le candidat possède un excellent niveau en mathématiques et propose un plan dangereux pour qui ne saurait pas le maîtriser. Le jury lui pose d'ailleurs des questions difficiles en rapport avec son exposé, mais le candidat arrive à y répondre sauf quand la question est exagérée.

Il maîtrise son domaine. Il faut dire que le candidat est passé par Polytechnique et a achevé quelques formations complémentaires de haut niveau. Je vous laisse découvrir ce compte rendu d'un oral exceptionnel (qu'il ne s'agit pas de copier tel quel car il existe d'autres façons plus tranquilles de construire sa leçon sur les solides de l'espace) :



ORAL 1

Après les préparatifs, je tire enfin un sujet au hasard. Je tombe sur 6 et 15, autrement dit « Intervalles de fluctuation, intervalles de confiance. Applications. » et « Solides de l’espace et volumes ». Pas très content du sort car ce sont deux sujets que je ne maîtrise pas si bien que cela et qui ne sont pas les maths que j’ai eu l’habitude de faire à haute dose. Mais je les ai justement revus l’avant-veille et l’avant-avant-veille des oraux (n’écoutez pas ceux qui disent que travailler la veille ne sert à rien, j’ai découvert et appris le cours sur les applications affines, isométries affines la veille de l’écrit et c’est tombé dans un sujet !). Je me dis que le sujet 6 est glissant, il y a plein de subtilités dans la partie « intervalles de confiance » (estimation quand on ne connaît pas la proportion), il faut un bon background sur les probas et sur le théorème central limite pour comprendre ce qu’on fait je trouve, background qui date chez moi de quelques mois : c’est mince.

Je choisis 15. La difficulté est peut-être d’avoir quelque chose à dire : aligner les solides du collège et les formules du volume, d’accord, et c’est tout ? Je me souviens bien de la relation d’Euler et des solides de Platon, ça peut nourrir mon exposé, car je connais la démonstration de la relation d’Euler, non triviale, grâce au cours de géométrie de Dany-Jack, et comment déduire à partir de là qu’il n’y a que 5 solides de Platon. J’ai quelques définitions en tête des surfaces, des cylindres, des polyèdres convexes réguliers, quelques notions de topologie que je prendrai soin de ne pas trop développer pendant la leçon, mais d’évoquer parfois ici et là pour pouvoir montrer que je sais définir précisément les choses si on me pose la question.

Je perds un temps monstrueux à magouiller des choses sur ordinateur : je cherche l’application capture d’écran, ne la trouve pas, m’aperçois au bout d’un quart d’heure qu’elle est dans le dossier « Logiciels ». Je perds un temps fou avec GeoGebra 3D pour magouiller des conjectures sur le volume de la sphère à présenter à des élèves. Je commence par chercher des définitions précises mathématiquement du cube, du cylindre. Tout à coup, je me dis que cela est grotesque, on ne donne aucune définition aux élèves du cube. On ne donne pas non plus de système d’inéquation cartésienne définissant le cube (x,y,z compris entre 0 et 1), on liste les propriétés : il a 6 faces, etc. Pour les solides de Platon, je fais une animation sur TI-Nspire CX CAS dont je me dis qu’elle est un peu superflue. Je trace les droites d’équation y=3, x=3, et la fonction homographique f(x)=2+4/(x-2). Le domaine triangulaire délimité par les trois courbes est un triangle, je fais parcourir les coordonnées entières au voisinage de la zone à un point qui bouge (car ses coordonnées sont liées à deux curseurs dont le pas est 1) et j’obtiens graphiquement les 5 solutions liées aux solides de Platon... J’arrête là mes tentatives informatiques foireuses et me lance dans un PowerPoint basique en quatre parties. Il était temps, j’ai perdu une heure !

Voilà le canevas de ma présentation :

Solides de l’espace et volumes (photo avec des pyramides, avec la géode, etc.)

Prérequis : Géométrie plane, Rudiments de topologie, Droites et plans de l’espace, Aires, Calcul intégral.

I. Solides usuels
Je dis qu’on va parler de parties de l’espace fermées et connexes, bornées, non contenues dans un plan. (j’avais écrit « définition : on appelle solide une partie de l’espace... », mais je me reprends, je crains qu’on m’attaque sur cette définition superflue).
J’explique qu’on classe les solides usuels au collège et lycée en les regroupant suivant la formule donnant le volume des solides de la famille.
Je donne une liste succincte de vocabulaire (face, arête, sommet...) et je dis qu’on ne donne pas de définition au collège mais qu’on illustre ces mots par des exemples et qu’on peut familiariser les élèves avec les solides grâce à GeoGebra.
A)  Prismes droits et cylindres
Cube, pavé droit, cylindre de révolution, illustrations GeoGebra. Je mets 2 remarques sur « de révolution » en définissant un peu le terme, et sur « cylindre » (en parlant de génératrice).
B)   Pyramides et cônes
Tétraèdre, pyramide à base carrée, cône de révolution, illustrations GeoGebra.
C)   Boules
Boule de centre O et de rayon r : ensemble des points M tels que OM inférieur ou égal à r.

II. Représenter et construire un solide
J’explique qu’il s’agit de passer du plan à l’espace et réciproquement, sans parler de projection.
A)  Les règles de la perspective cavalière
Ici, on passe de l’espace au plan. Je dis qu’il y a 3 règles importantes (je les donne à l’oral, je fais un dessin de cube), je dis qu’il y a 2 données à retenir (angle de fuite, coefficient de perspective), j’explique sur mon dessin.
B)   Construire le patron d’un solide
Ici, on passe du plan à l’espace. Je donne la définition d’un patron. J’explique un peu. Je propose un exercice typique : construire le patron d’un cône de révolution de rayon r et de hauteur h, dis qu’on le résout au collège avec des valeurs particulières, que c’est l’occasion d’un petit travail de proportionnalité, et permet d’appliquer Pythagore.

III. Les 5 solides de Platon
Un peu en vrac sur ma diapo : relation d’Euler valable pour les polyèdres convexes, quelques équations conduisant aux 5 solides de Platon dont j’explique qu’ils sont liés aux 5 éléments et qu’on peut les voir dans une partie culturelle du cours au collège/lycée. J’affirme sans marquer « proposition » (j’ai eu beaucoup de mal à marquer définition, proposition, remarque, etc. dans mon cours, à cause du fait qu’il me semblait un peu superflu dans un premier temps de définir les solides) qu’il existe seulement 5 polyèdres convexes réguliers.

IV. Volumes usuels.
Je reprends le I et inscris rapidement les formules :
                   A) Prismes droits et cylindres
V= (Aire de la base)x(hauteur)
                  B) Pyramides et cônes
V=1/3(Aire de la base)x(hauteur)
Exercice : retrouver la formule pour une pyramide/cône quelconque (en appliquant les résultats sur les réductions) avec un calcul intégral.
                  c) Boules
V=4Pi/3*(Rayon)3

Exercice : retrouver la formule avec un calcul intégral.

Je conclus en disant qu’on peut utiliser la propriété d’additivité des volumes pour calculer des volumes un peu complexes. Un peu comme les aires avec le procédé de triangulation. Je parle d’autres façons de faire, comme le principe de Cavalieri, mais c’est risqué. J’ai terminé. On me dit qu’il reste 3 minutes : est-ce que vous voulez poursuivre ? Je dis que je m’arrête (j’aurais pu résoudre l’exercice du patron par exemple, un peu bête ma réaction).

Le jury me demande de développer la relation d’Euler. Je dis qu’au collège on peut vérifier que la relation est vérifiée et qu’au lycée on peut passer de la relation à la résolution d’un système d’équations non linéaires pour les solides de Platon. J’explique un peu le système, je n’ai que deux bouts de tableau entre lesquels je déambule de part et d’autre de l’écran pour vidéoprojecteur, pas très pratique pour rédiger complètement, je trouve que j’ai très mal rédigé, et complété une bonne partie du raisonnement à l’oral. Le jury semble me presser un peu tout en m’écoutant, j’aboutis à mon animation TI-Nspire CX CAS (je parle d’un exercice typique au niveau BTS de résoudre ainsi graphiquement le système). Au bout d’un moment, il me dit qu’il attendait que je développe la relation d’Euler et non l’application aux solides de Platon. Zut ! J’ai peur d’avoir fait 10 minutes de hors sujet ! Je dis alors qu’on peut projeter un graphe plan sur la sphère pour obtenir la relation d’Euler vérifiée par les polyèdres convexes, à partir de celle qu’on démontre pour les graphes plans. Le jury me demande de démontrer. Je commence à parler de récurrence sur les arêtes. Il me demande de démontrer au niveau collège :

Comment démontrer niveau collège la relation d’Euler ?

Je m’arrête, je dis qu’il me semble que c’est non trivial ! Je commence à dire qu’il faut distinguer si le graphe contient un cycle ou non, mais le jury m’interrompt. Niveau collège ! Je suis un peu désarçonné, je dis qu’on peut commencer par des cas simples. Je prends un triangle, et je vérifie dessus la relation d’Euler, puis j’hésite à poursuivre, je dis qu’on pourrait agrandir la figure par des triangles successifs. Puis je m’arrête, ne sachant pas trop comment développer tout ça niveau collège sans faire de récurrence. Le jury dit : oui, votre idée du triangle, c’était bien. Et ensuite ? Je sèche, je me sens coincé entre mes idées et le niveau auquel on me demande de démontrer. Après coup, je pense que le jury attendait que je fasse de la triangulation. J’ai trouvé ensuite une démonstration assez élémentaire de la relation d’Euler qui répond à ma question sur cette page web, pages 9 à 13 et aussi une démonstration avec les angles page 339 du tome 3 algèbre CASSINI.

Pouvez-vous définir une partie « convexe » ? Fermée ? Connexe ?

Je réponds rapidement. Pour la connexité, je définis sans m’en rendre compte la connexité par arcs (avec une fonction continue, etc.), le jury me le fait remarquer. Je dis oui mais c’est celle dont je parlais dans mon plan en fait, et puis je définis connexe (ne pouvant être réunion disjointe de 2 ouverts non vides, etc.).

Pouvez-vous définir un cylindre ?

Je commence par signaler que d’habitude on parle surtout de la « surface cylindre », et qu’étant donné le sujet je vais définir le « solide cylindre » : je parle de la base, une surface bornée dans un plan. Je dessine un disque. Je parle d’une droite non parallèle au plan et de la réunion des droites qui lui sont parallèles et qui passent par un point de la surface. J’oublie de parler de deux plans parallèles qui délimitent le cylindre. Le jury profite du cas particulier que j’ai pris pour dire « donc toute section droite d’un cylindre est une ellipse suivant votre dessin ? », je dis « euh oui » et le jury me dit « je ne peux donc pas avoir un haricot ? ». Je me reprends : si, j’ai pris un cas particulier, mais on peut prendre une palette de peintre pour base.

Dessinez un repère orthonormé. Nommez les axes.
Je m’exécute en me demandant s’il y a un piège. 

Dessinez un solide de révolution
Je dessine un disque loin de l’axe Oz et parallèle à lui, je le fais tourner autour. Qu’obtient-on ici au passage ? Je réponds un tore.

Pouvez-vous me donner la forme générale de l’équation cartésienne d’un solide de révolution ?

Je sèche sur cette question, j’hésite, je dis que si on prend un point M(x,y) et que l’on considère son image M’ par une rotation autour de Oz, M’ devra vérifier l’équation cartésienne. Je commence à sortir des cos et des sin mais le jury me presse de donne le résultat sans me laisser poser mes équations. (Je suis habitué aux oraux de grandes écoles où on laisse sécher le candidat pendant 20 minutes sur un exo, pas à cette interruption permanente qui attend le résultat sans me laisser dérouler le raisonnement. Ou alors, c’est ici une question de cours et je me dis zut je ne devrais pas sécher là-dessus, je stresse un peu et paralyse ma réflexion). Le jury me dit alors qu’on pourra écrire f(z,x²+y²)=0. Je tente de me rattraper en disant qu’en effet avec le cos et le sin on aurait retrouvé cela, qu’il n’y a que deux paramètres, z et le rayon.

Connaissez-vous d’autres types de perspectives ?

Je dessine la figure de Dany-Jack dans son cours de géométrie du collège pour matheux où l’on voit trois pans de mur, un proche, un qui s’éloigne et un dernier au loin, tous reliés. J’explique que les deux droites des deux pans de murs frontaux (proche et lointain), sont parallèles tandis que celles du pan de mur qui s’éloigne ne le sont pas, que le plus loin n’est pas à l’échelle, toutes choses qui enfreignent les lois de la perspective cavalière. Je pense tout à coup qu’il s’agit de perspectives utilisées en peinture et j’en parle en parlant de « perspective à point de fuite ». Je ne sais pas s’il y a un autre nom. On me demande si j’en connais encore d’autres. J’avoue que non, mais dis qu’on peut probablement en définir d’autres avec d’autres règles.

Pouvez-vous démontrer comme en terminale la formule du volume de la sphère ?

Je songe aux coordonnées sphériques dont je parle, et je dis tout à coup qu’en terminale « l’intégrale triple » risque d’être un peu technique. J’oublie une façon de faire avec Pythagore en sommant l’aire de disques d’épaisseur dx. Je propose d’utiliser l’aire de la sphère (après tout c’est dans mes prérequis) : 4PiR². Et de sommer les volumes de « sphères » concentriques d’épaisseur dr. J’intègre rapidement ça. J’avais parlé des coordonnées sphériques et on me pose alors la question :

Parle-t-on de coordonnées sphériques dans le secondaire, au collège ? Et de quoi sinon ?

Je dis que non, on parle de longitude, de latitude. On me demande un schéma. Je dessine une sphère-terre. Je dessine deux ou trois flèches et prie pour ne pas me tromper entre la latitude et la longitude, parle du niveau de la mer comme troisième coordonnée. Le jury semble approuver. Comment appelle-t-on « Phi » d’ailleurs ? Je ne sais pas trop. On me dit que c’est la « colatitude ».

On s’arrête là.


J’ai le sentiment d’avoir mal rédigé au tableau et d’avoir été plutôt collé, contrairement à la seconde épreuve où j’ai le sentiment d’avoir très bien fait. J’ai obtenu 14,8 à cette épreuve, plutôt bonne surprise ! Et 18,15 à la seconde. Avec les écrits à 18,6 et 19,3, je suis admis sans souci... 

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