Théorème des accroissements finis : discussion autour d'une rédaction à améliorer

Un Mégamathien me pose des questions sur le début du chapitre 4 de mon livre Les grands théorèmes de l'analyse

Dans l'ouvrage Les grands théorèmes de l'analyse,  chapitre 4, théorème des accroissements finis version 1, seconde méthode p 61, vous dites avant dernière ligne et suivantes : "Si f n'était pas décroissante sur ]a,b], il existerait c appartenant à ]a,b[ tel que f(b) > f(c). Vous concluez trois lignes plus bas f(x) > f(c), en contradiction avec la décroissance de f sur ]a,b[. Pouvez vous me confirmer la validité de cette démonstration.

Voici le théorème en question et la preuve proposée dans la version 1.00 du livre actuellement disponible sur Amazon :

 
 

Voici ma réponse : 

Je confirme, car en me relisant je trouve que ça a l'air bon. Je vous envoie les lignes qui montrent bien que f(x) > f(c). Bien sûr, on supposera que eta est suffisamment petit pour avoir c < b- eta < x, de sorte que c < x,  afin de pouvoir déduire f(c) >= f(x) en utilisant la décroissance de f sur l'intervalle ]a,b[. C'est bien la contradiction cherchée. J'aurais peut-être dû être plus explicite... Vous me direz si vous êtes maintenant d'accord avec le raisonnement.
Et voici la demande d'éclaircissement plus précise qui m'est envoyée :

Bonjour et merci pour votre réponse rapide. J'ai bien compris la démonstration que vous m'avez gentiment envoyée. Mon problème se situe en amont de cette démonstration. 
* Vous posez à la page 61 : phi(x) = f(x) -f(a) -M(x-a) donc phi'(x)  <= f'(x) - M <= 0 donc phi décroissante sur ]a,b[, d'accord. Ensuite vous dites que f, et non phi, est décroissante sur ]a,b]. C'est ici que je ne comprends plus. Il me semble que dans le théorème des accroissements finis, f est seulement dérivable et peut-être croissante ou décroissante.
* De plus vous dites (dernière ligne page 61)que si f n'était pas décroissante sur ]a,b], il existerait c appartenant à ]a,b[ tel que f(b) > f(c). Ici je ne comprends pas. J'aurais plutôt dit : il existerait c appartenant à ]a,b[ et eta >0 tel que pour tout x tel que c-eta < x <c alors f(x) > f(c). 
* Enfin dans le raisonnement par l'absurde que vous utilisez, vous supposez que f n'est pas décroissante et vous arrivez à f(x) > f(c) en contradiction avec la décroissance de f sur [a,b]. Or vous avez supposé le contraire, à savoir la non décroissance de f.

Je tente ici de répondrez point point par point :

* Aïe : vous avez raison, il y a un non-dit fallacieux dans ma rédaction. A partir de "nous le vérifions ici en raisonnant par l'absurde", je considère (pendant un instant) une fonction f quelconque décroissante sur ]a,b[ et continue sur [a,b], pour démontrer qu'elle est alors décroissant sur [a,b]. Ensuite, à la fin de ce raisonnement, je retourne à la fonction Phi. En vous répondant, je me dis que j'aurais dû rester avec Phi tout simplement (tout en sous-entendant cette fois-ci que l'on était dans un cas général) ou bien nommer g cette fonction f pour la distinguer de celle sur laquelle on travaille dans le théorème.
Bon, je prends la décision d'appeler Phi cette fonction ce qui rendra j'espère le texte plus clair. Je vous envoie ci-dessous le texte modifié, ou plutôt celui qui figurera si un jour je décide d'une nouvelle édition, ce qui n'est pas actuellement à l'ordre du jour car c'est la première modification faite sur le texte de ce livre. 
* Là vous avez tort car la décroissance de f sur un intervalle I s'écrit : "quel que soit x<=y avec x et y dans I, on a f(x)>=f(y)", donc la non décroissance de f sur I s'exprime par : "il existe un couple (x,y) dans I^2, avec x<=y et f(x))f(y)". Comme ici f est décroissante sur ]a,b[, ce couple (x,y) qui contredit cette décroissance ne pourra jamais être pris avec x et y dans ]a,b[, d'où cette intervention de f(b) dans la suite du raisonnement. 
* Il n'y a pas d'erreur ici. On suppose par l'absurde que f n'est pas décroissante sur [a,b], et on conclut grâce à  f(x) > f(c), que f n'est pas décroissante sur ]a,b[. Ce qui est une absurdité. On ne parle donc pas de décroissance sur "le même intervalle". 
Merci pour vos questions qui me montrent comment on peut interpréter le texte. Même si j'essaie d'être explicite, je m'aperçois toujours que certaines parties de démonstrations ne conviennent pas forcément pour lever les doutes t assurer une lecture limpide. C'est le gros problème de la rédaction, problème que l'on retrouve quand on doit passer à l'acte dans un écrit de concours par exemple. Ce travail n'est donc pas inutile.

Et voici la version finale (version 1.01) de cette preuve qui figurera peut-être un jour dans le livre publié, dans le cas d'une nouvelle version :






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